‘수학’ 하면 보통 ‘숫자’와 ‘계산’을 떠올리곤 한다. 하지만 수학은 그저 계산하는 학문도, 주어진 문제만을 푸는 학문도 아니다. 수와 도형에 숨어 있는 법칙과 정리를 깊이 이해하며 새로운 현상을 발견해나가는 것, 이것이야말로 수학의 본질이다. 즉 ‘수학 센스’는 단지 계산을 척척 해내는 감각이 아니라, 스스로 질문하고 이리저리 뒤집어보고 탐구하며 깊이 이해해나갈 줄 아는 힘, 즉 ‘수학을 제대로 갖고 놀 줄 아는 감각’을 말한다. 그리고 ‘수학 센스’의 실마리는 누구나 배우는 중학교 수학 속에 이미 가득 들어 있다. 중학교 과정을 기반으로 ‘수학 센스’를 연마하는 법을 알차게 담은 이 책은 수학의 바다에서 신나게 놀 줄 아는 감각을 기르도록 돕는 새로운 지침이 되어줄 것이다. 

1981년 아이치현 오카자키시 출생. 기후대학교 교육학부 준교수. 와세다대학교 대학원 교육학연구과 수료, 이학박사. 와세다대학교 교육·종합과학학술원 조교, 나라교육대학교 준교수 등을 거쳐 현직에 이르렀다. 전공은 매듭 이론. 수학 관련 과학관 전시와 교원 양성 연구 등도 함께 진행하고 있다. 두 딸과 함께 여러 공원을 다니며 노는 것이 취미다. 놀이기구의 모양도 꼭 관찰한다. 과학 분야의 그림책에도 푹 빠져 있다.

다른 나라 언어로 쓰인 책의 재미를 우리나라 독자에게 전달하고자 하는 마음으로 번역을 시작했다. 저자의 색깔에 녹아든 번역을 추구한다. 현재 엔터스코리아에서 일본어 번역가로 활동 중이다. 옮긴 책으로는 『한 번 읽으면 절대 잊을 수 없는 수학 교과서』, 『눈부신 수학』, 『미적분, 놀라운 일상의 공식』, 『세상을 읽는 과학적 시선』, 『세상에서 가장 쉬운 철학책』 등 다수가 있다.

머리말

1.1 구구단 표 속에 숨어 있는 ‘대칭성’을 찾아라

1.2 구구단 표의 ‘단’에는 어떤 관계가 숨어 있을까?

1.3 ‘일의 자리의 규칙성’을 찾아라

1.4 구구단에 나오는 수

1.5 구구단에 나오는 숫자의 합 생각하기

1.6 구구단의 수를 모두 더하면?

1.7 구구단의 수를 부분적으로 더하기

2.1 소수란

2.2 ‘소수표’를 만들자

2.3 나열을 바꿔서 소수 다시 바라보기

2.4 디리클레 정리

2.5 1300 이하의 소수

3.1 쌍둥이 소수

3.2 회문 소수와 수소

3.3 레퓨닛 수

3.4 순수 소수

3.5 친근한 달력에서 소수 찾기

4.1 ‘수의 배열’ 탐구하기

4.2 ‘끝자리 수’가 변하지 않는 수는?

4.3 수를 나눠 더해보기

제5장. 3, 4, 5제곱수를 탐구하며 수학 센스 연마하기 5.1 세제곱수 5.2 네제곱수  5.3 다섯제곱수 제2부. ‘수’를 ‘도형’으로 파악하는 센스 연마하기 제6장. ‘피타고라스 정리’를 탐구하며 수학 센스 연마하기 - ‘거듭제곱수의 합’에서 나타나는 수의 세계 6.1 피타고라스 정리와 피타고라스 수 6.2 피타고라스 수의 ‘도형적’ 의미 6.3 페르마의 마지막 정리 6.4 제곱수의 합 6.5 세제곱수의 합 6.6 네제곱수의 합 - 오일러의 추론 6.7 거듭제곱수에 관한 미해결 문제 제7장. 분수를 소수로 나타내며 수학 센스 연마하기 - 그리고 ‘도형’으로 나타내보면……? 7.1 불규칙적으로 끝없이 이어지는 소수는 왜 나타나지 않을까? 7.2 손 계산을 통해 탐구하기 7.3 순환마디를 그림으로 나타내면……? 7.4 유한소수로 나타내는 분수 7.5 약분된 분수의 순환마디 특징은? 7.6 ‘바로 순환하는 분수’와 ‘바로 순환하지 않는 분수’ 7.7 순환마디의 길이 7.8 거듭제곱수의 순환마디 길이  7.9 ‘나머지의 열’ 시각화하기 7.10 분수를 도식화하기 제8장. 수를 자유자재로 다루며 수학 센스 연마하기 - ‘회오리형’인가, ‘나무형’인가 8.1 더하는 과정 반복하기 8.2 세 자릿수에서는 어떻게 될까? 8.3 빼는 과정 반복하기 8.4 세 자릿수 뒤집어 빼기 8.5 세 자릿수의 각 숫자 서로 바꾸기 8.6 네 자릿수의 각 숫자를 서로 바꾸면……? 8.7 콜라츠 추측이란? 8.8 콜라츠 추측 탐구하기 제3부. ‘도형’에 대한 센스 연마하기 제9장. 정다면체를 탐구하며 수학 센스 연마하기 9.1 정다면체란? 9.2 정다면체는 오직 다섯 종류 9.3 첫 번째 조건에서 ‘정다각형’ 제외하기 9.4 두 번째 조건 ‘모든 꼭짓점에는 같은 수의 면이 모여 있다’ 제외하기 9.5 세 번째 조건 ‘오목한 부분이 없다’ 제외하기 9.6 정다면체의 ‘쌍대’란? 9.7 정다면체의 전개도 9.8 정다면체 속의 정다면체 9.9 아르키메데스의 입체도형 9.10 존슨 입체도형 제10장. 다면체를 탐구하며 수학 센스 연마하기 10.1 볼록 다면체의 개수 10.2 오일러의 다면체 공식 10.3 다면체 면의 내각 총합 10.4 다면체 꼭짓점의 부족도 합 10.5 ‘다면체의 전개도’에 관한 미해결 문제 10.6 ‘면의 내부’를 잘라내는 전개도 10.7 ‘정육면체의 면’을 잘라내는 전개도 10.8 ‘두 직육면체를 만들어내는 면’을 잘라내는 전개도 10.9 우리 주변의 다면체 제11장. ‘평면 채우기 문제’로 수학 센스 연마하기 11.1 삼각형으로 채우기 11.2 사각형으로 채우기 11.3 ‘정다각형 한 종류’로 채우기 11.4 여러 종류의 정다각형으로 채우기 11.5 오목다각형으로 채우기 11.6 오각형으로 채우기 11.7 주기성이 없는 평면 채우기 COLUMN ▶ 엑셀 프로그램으로 ‘순환마디의 길이’ 구하기 ▶ 엑셀 프로그램으로 ‘카프리카 조작’ 실행하기 ▶ 엑셀 프로그램으로 ‘콜라츠 추측’ 탐구하기 참고 문헌 맺음말

‘수를 도형으로 인식하고 도형을 수로 인식하는 것’은 수학의 이해를 깊게 만드는 중요한 단계입니다. 그러나 아쉽게도 학교 수업에서는 이런 관점에서 배울 기회가 많지 않습니다. 그래서 정리를 정리로만 외우는 수준에서 멈추고 마는데, 그렇게 해서는 너무나 아깝습니다. ‘수학 센스’를 연마할 기회를 놓치고 있는 셈이거든요.

9단에서는 십의 자리와 일의 자리를 더하면 모두 9가 된다. 이 성질을 활용한 것으로는 ‘손가락 접기 계산’이 유명하다. 양손을 펼치고 ‘9에 곱하는 수’와 ‘접는 손가락’을 대응시킨다. 2를 곱할 때는 왼쪽에서 두 번째 손가락을 접는다. 그러면 그 손가락의 왼쪽에 있는 손가락 개수가 십의 자리를 나타내고, 오른쪽에 있는 손가락 개수가 일의 자리를 나타낸다.

중학교 3학년 때 배우는 ‘피타고라스 정리’는 누구나 들어본 적이 있을 것이다. 직각삼각형의 세 변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, ‘a의 제곱+b의 제곱=c의 제곱’이라는 관계가 성립한다는 정리다. 예전에는 ‘삼평방의 정리’라고 부르기도 했다. 사실 피타고라스 정리는 ‘수’를 ‘도형’으로 간주한다는, 수학적으로 매우 중요한 감각을 기르는 첫걸음이다. 앞서 ‘수학 센스’를 다루었던 제1부에 이어, 제2부에서는 ‘수’를 ‘도형’으로 간주하는 센스를 기르는 관점을 살펴보려고 한다. 제목은 「‘수’를 ‘도형’으로 간주하는 센스」이지만, 이는 동시에 「‘도형’을 ‘수’로 간주하는 센스」이기도 하다는 사실을 유의하자.

세제곱과 관련해서는 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔(1887~1920)의 ‘택시 수’가 유명하다. 요양 중이던 라마누잔을 문병하러 온 친구가 택시 번호가 ‘1729’였다고 전하며 “아무 특징도 없는 숫자였어”라고 단정하자, 라마누잔은 “1729는 두 가지 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 흥미로운 숫자다”라고 반박했다는 일화에서 유래한 이름이다. 참고로 1729는 가장 작은 택시 수다.

- 제6장. 「‘피타고라스 정리’를 탐구하며 수학 센스 연마하기」 흰색과 검은색 면으로 이루어진 고전적인 축구공이 바로 아르키메데스 입체도형의 대표적인 예이다. 이 도형은 정오각형과 정육각형으로만 이루어져 있으며, 모든 꼭짓점에는 ‘정오각형-정육각형-정육각형 순’으로 면이 배열되어 있고 오목한 부분이 없다. 이 입체도형은 정이십면체의 각 변을 3등분하고 꼭짓점 부근을 잘라내 만든 형태이다. - 제9장. 「정다면체를 탐구하며 수학 센스 연마하기」 푹 들어간 사각형은 ‘오목사각형’이라고도 불리며, 내각 중 하나가 180°보다 큰 사각형을 말한다. 이런 도형을 과연 사각형으로 볼 수 있는지는 논의의 여지가 있지만, 4개의 변과 4개의 꼭짓점을 가지고 있으므로 여기에서는 사각형으로 간주하자. 또한 이러한 도형은 두 개의 삼각형으로 나눌 수 있기 때문에, 내각의 합은 일반 사각형과 마찬가지로 360°이다. 외각의 합도 음수를 포함해서 생각하면 360°로 일정하다. 그리고 놀랍게도, 오목사각형 역시 평면을 빈틈없이 채울 수 있다. - 제11장. 「‘평면 채우기 문제’로 수학 센스 연마하기」

‘수학 센스’란 과연 무엇일까? 이 질문에 많은 이들이 ‘계산을 잘하는 능력’, ‘문제를 신속하고 정확하게 푸는 능력’이라고 답할 것이다. 하지만 ‘수학 센스’와 ‘계산력’은 엄연히 다르다. 실제로 수학 전문가 중에는 계산이 느리거나 아주 간단한 연산도 실수하는 이들이 존재하니 말이다. 

이 책에서 다루는 ‘수학 센스’란 쉽게 말해 ‘수학을 제대로 갖고 놀 줄 아는 감각’을 말한다. 능동적으로 질문을 던지고 이리저리 뒤집어보고 탐구하며 수와 도형에 숨어 있는 질서를 깊이 알아가는 능력, 이것이 바로 수학 센스이자 진정한 ‘수학하는 힘’이다. 수학하는 힘이 잘 단련되어 있다면, 수학의 큰 두 가지 축이라 할 수 있는 ‘수’와 ‘도형’이 사실은 별개가 아니라 서로 긴밀하게 연결되어 있다는 사실을 터득하게 된다. 예를 들어 ‘피타고라스의 정리’에서는 ‘a의 제곱 더하기 b의 제곱은 c의 제곱’을 무작정 외우는 데 그치지 않고 더 나아가 ‘제곱수’의 특징을 발견할 수 있다. 또는 분수를 소수로 바꾸고 소수점 이하에 이어지는 숫자들을 도형으로 표현해보면, 거기서 놀라운 대칭성을 찾아낼 수도 있다. 이처럼 ‘수를 도형으로 인식하고 도형을 수로 인식하는 것’은 수학을 한 차원 더 깊이 이해하기 위한 기본 중의 기본이다. 

이 지점에서 많은 이들이 의문을 품을 것이다. ‘수학 센스가 과연 쉽게 얻어질까? 수학 센스는 노력한다고 얻을 수 없는 ‘재능’의 영역이 아닐까?’라고 말이다. 하지만 이 책은 말한다. 수학 센스, 즉 수학하는 힘의 실마리는 누구나 배우는 중학교 수학 과정에 이미 가득 들어 있다고.

이 책은 크게 ‘수’, ‘수와 도형’, ‘도형’이라는 세 가지 테마로 나누어, 중학교 수학의 기초 지식을 100% 활용하며 수학 센스를 연마하는 공부법을 소개하고 있다. 1부 「‘수’에 대한 센스 연마하기」에서는 구구단과 소수와 제곱수를, 2부 「‘수’를 ‘도형’으로 파악하는 센스 연마하기」에서는 ‘피타고라스 정리’와 ‘분수와 소수’ 등을 중점적으로 다루었다. 그리고 3부 「‘도형’에 대한 센스 연마하기」에서는 정다면체와 다면체, 그리고 ‘평면 채우기 문제’를 중심으로 색다른 도형 공부법을 해설했다.  스스로 의문을 품고 깊이 탐구해가는 과정은 어떤 공부에서든 중요하지만, 특히 수학이라는 학문의 본질을 꿰뚫고 진정으로 수학을 즐기는 데에는 더욱 필수적이다. 주입식 또는 암기식으로만 배웠던 수학을 새로운 시각으로 다시금 접해보고 싶은 모든 이들에게, 이 책은 수학하는 힘을 기르고 수학과 신나게 놀 수 있도록 길을 제시하는 유용한 지침서가 되어줄 것이다.