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전하려는 정보를 오해 없이 정확하게 표현하고자 인류는 긴 세월에 걸쳐 객관적 인 표현으로 ‘정수’를 탄생시켰다.
기원전 1만 5000년~기원전 1만 년 무렵, 구석기 시대의 근동에서는 동물 뼈에 선을 여러 개 새긴 ‘탤리 스틱’라는 물건을 사용했다. 이 선은 특정한 ‘구체적 사물’의 수량을 기 록하기 위해 새겼다고 추정되며, 하루하루의 음력에 맞추어 하나씩 새겼다는 가설도 있다.
제1장 수와 연산
이런 소수 목록을 작성하려고 할 때, 지금 소개할 에라토스테네스의 체가 쉽고 효과적이다. 이 방법으로 100 미만의 소수 표를 만들어보자. 컴퓨터를 사용하면 이 방법으로 제법 큰 소수 표도 만들 수 있다. 우선 2 이상 100 미만의 정수 m이 소수가 아니라고 가정한다. m의 소인수 중에 서 가장 작은 수를 p라고 하면, m은 p × p 이상이 된다. 이때 p가 10보다 크다면 m과 p × p는 100보다 커지기 때문에 모순이 생긴다. 그러므로 p는 10 미만의 소수이며 2, 3, 5, 7 중 하나다.
제1장 수와 연산
‘기준량’은 우선 기준이 되는 양이고, ‘비교하는 양’은 기준량과 비교하는 양이다. 이때 중요한 점은 ‘기준량’의 양과 ‘비교하는 양’의 양은 같은 종류이며, 한쪽이 다른 쪽의 몇 배라는 관계만을 의미한다는 것이다. 즉, 둘 다 거리, 금액, 무게 등등 같은 종류라는 뜻이다. 이 언뜻 당연한 언급을 별로 보지 못해서 여기서 확실하게 말해 둔다.
제2장 양과 비와 비율
일반 열차에 타면 열차 바퀴가 레일과 레일의 이음새를 통과할 때 덜컹덜컹하는 소리가 난다. 이음새를 용접해서 롱레일로 만든 부분, 혹은 지점 등 을 빼면 레일 하나의 길이는 25cm이기 때문에 열차 속력을 구할 수 있다. 예를 들어, 1초 동안 1회, 즉 1분 동안 60회 ‘덜컹덜컹’하는 소리가 들렸다면 1분 동안 1.5km를 이동한 것이다.
제2장 양과 비와 비율
삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, ……은 각각 직선 3개, 4개, 5개, 6개, ……로 둘러싸인 (평면 위의) 도형이다. 다각형을 구성하는 직선 부분을 변이라고 하고, 변과 변 이 만나는 각 점을 꼭짓점이라고 한다. 다각형 중에서도 볼록다각형은 다각형 내에 있는 아무 두 점 A와 B를 찍어도 그 점을 잇는 선분이 그 다각형에 포함되는 도형을 말한다. 또, 볼록다각형이 아닌 다각형을 오목다각형이라고 한다. 다음 그림에서 왼쪽은 볼록다각형이고, 오른쪽은 오목다각형이다.
제3장 도형
평면 위의 점 O부터 동일한 거리 r(cm)에 있는 점들의 모임을 원이라고 하고, O를 원의 중심, 원의 둘레를 원주, 중심 O에서 원주 위에 있는 점까지의 선분을 반지름, 원주의 점에서 다른 원주의 점까지의 선분 중 중심을 지나는 선분을 지름이라고 한다. 그리고 원주, 반지름, 지름은 각각의 길이를 나타내는 표현이 있다.
제3장 도형
이 예제처럼 ‘같은 정도로 기대된다’라는 말을 의식하지 않으면 확률은 틀리기 쉽다. 프로야구를 중계하는 아나운서가 타율이 0.333인 타자에 대해서 “확률적으로 슬 슬 안타를 치겠네요” 하고 말하는 것은 틀렸고, “확률적으로 생각하면 다음에 안 타를 칠 확률도 0.333입니다”라고 말해야 적절하다.
제4장 경우의 수와 확률 · 통계
A와 B 누구를 지지하는지 묻는 설문조사를 1000명과 10000명을 대상으로 한 결과, 1000명 조사에서는 A가 528명, B가 472명, 10000명 조사에서는 A가 5103명, B가 4897명이라는 결과가 나왔다고 한다. 이 경우, ‘1000명 조사에서는 A가 53%, 10000명 조사에서는 A가 51%이기 때문에 1000명 조사에서는 A가 유리하다고 말할 수 있지만 10000명 조사에서는 미묘하다고 말할 수 있을 것이다’라고 생각하는 사람들이 의외로 많다. 그런데 ‘유의수준 5%’라는 ‘검정’ 방식을 이용하면 10000명을 조사한 데이터에서는 ‘A가 유리하다’라고 말할 수 있고, 1000명을 조사한 데이터에서는 ‘A가 유리하다’고는 말할 수 없다. 이처럼 통계분석에서는 비율인 ‘%’만이 아니라 ‘데이터 수’도 중요하게 검토해야 한다.
제4장 경우의 수와 확률 · 통계
대체로 수학의 내용을 자세히 묻는 사람이 많은데 나는 “‘모든’과 ‘어떤’의 용법, 특히 그 부정문을 제대로 이해하는 것이 중요합니다” 하고 답한다. 실제로 고등학교 수학을 잘 ‘이해’한 사람에게는 대학수학 입문이 어렵지 않다. 그 이유는 미적분이든, 선형대수학이든 기초 부분의 핵심에는 ‘모든’와 ‘어떤’의 용법이 있기 때문이다.
제5장 논리
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